Essa oficina tem por objetivo
trabalhar funções.
Deve ser entregue para cada dupla uma
Torre de Hanói que é um objeto composto por uma base com três pinos e vários
discos de raios diferentes. O objetivo do jogo é fazer com que todos os discos
que estão no primeiro pino, no qual estarão empilhados de forma decrescente de
tamanho como na figura a seguir, fiquem empilhados da mesma forma no terceiro
pino, porém seguindo as seguintes regras: nunca colocar um disco maior em cima
de um menor e mover um disco de cada vez.
Juntamente com a Torre, entregaremos
uma folha de atividades sugerindo que os alunos transcrevam quantos movimentos,
mínimos possíveis, eles conseguirão fazer para mover 1, 2, 3, 4 e 5 discos a
cada jogada. Em duplas, os alunos deverão preencher o seguinte quadro.
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Número de discos
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Número de movimentos
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Regularidade
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1
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2
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3
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4
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5
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n
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Ao efetuar a experiência de
transportar uma torre de uma coluna para outra, julgamos interessante
considerar as seguintes questões ou problemas:
1. Inventar um e digo que nos possibilite anotar as diferentes
movimentações efetuadas, nos casos de torres com 1,2, 3,4 ou 5 discos;
2. Analisar as regularidades que existem entre as torres de números
pares e de números ímpares de discos;
3. Analisar os movimentos do disco 1 (o menor de todos), do disco 2 (o
segundo menor de todos) e, assim, por diante;
4. Preencher o quadro abaixo e analisar as regularidades entre os
números de deslocamentos entre eles:
5. Generalizar os aspectos acima para torres de 6,7 ou n discos;
6. Inventar uma equação que nos possibilite prever o número mínimo de
deslocamentos para n discos.
Solução:
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Número de discos
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Número de movimentos
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Regularidade
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1
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1
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2 -1 = 2¹ - 1
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2
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3
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2.2 - 1 = 2² - 1
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3
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7
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2.2.2 - 1 = 2³ - 1
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4
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15
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2.2.2.2 - 1 = 16 – 1
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5
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31
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2.2.2.2.2 - 1 = 25 – 1
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n
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2n – 1
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2.2.2...2.2 - 1 = 2^n – 1
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Sistematização:
O jogo tem como objetivo que os
alunos percebam que existem vários tipos de funções deve ser
verificado juntamente com a ajuda dos alunos quais os tipos de funções que
apareceram no decorrer do jogo e que essas funções podem ter um grau de
polinômio n.
Esperasse que os alunos percebam que
se tivermos um número n de discos e substituirmos na equação 2^n - 1,
encontraremos a quantidade de movimentos, mínimos possíveis, sem precisar
movimentar os discos.
É importante perguntar aos alunos
quem esta em função do que, ou seja, o número de discos está em função do
número de movimentos ou o número de movimentos está em função do número de
discos. Tendo como objetivo que os alunos percebam que o número de movimentos
esta em função do número de discos. Nesse momento deve pedir para que escrevam
a função que representa esta regularidade. Esperasse que os alunos consigam
escrever que:
M = 2^n - 1
Em que, M é a variável dependente e n é a variável independente.
Didática:
Os alunos foram
separados em 5 grupos, onde cada grupo possuía um exemplar da torre, e após
explicado o sistema de alocação dos discos, foi proposto um desafio, onde além
de descobrir quantos movimentos eram necessários para dispor os discos da forma
desejada, com 2,3,4 e 5 discos, deviam observar se existia uma regra de
recorrência pra n discos, a conversa entre o grupo foi importante na discussão
se a quantidade de movimentos achada seria ou não a mínima possível, como
erámos 5 bolsistas do PIBID, cada um auxiliou um dos grupos afim de instiga-los
a encontrar a formula geral de movimentos e assim ganhar a competição. Os
alunos se veem desafiados quando observam que não é tão simples quanto aparenta
ser, então a própria curiosidade em conseguir descobrir o segredo por trás do
questionamento, faz com que queriam saber quantos os movimentos e qual a
fórmula procurada.
