Oficina: Torre de Hanói

Essa oficina tem por objetivo trabalhar funções.

Deve ser entregue para cada dupla uma Torre de Hanói que é um objeto composto por uma base com três pinos e vários discos de raios diferentes. O objetivo do jogo é fazer com que todos os discos que estão no primeiro pino, no qual estarão empilhados de forma decrescente de tamanho como na figura a seguir, fiquem empilhados da mesma forma no terceiro pino, porém seguindo as seguintes regras: nunca colocar um disco maior em cima de um menor e mover um disco de cada vez.

Juntamente com a Torre, entregaremos uma folha de atividades sugerindo que os alunos transcrevam quantos movimentos, mínimos possíveis, eles conseguirão fazer para mover 1, 2, 3, 4 e 5 discos a cada jogada. Em duplas, os alunos deverão preencher o seguinte quadro.

Número de discos	Número de movimentos	Regularidade
1
2
3
4
5
n

Ao efetuar a experiência de transportar uma torre de uma coluna para outra, julgamos interessante considerar as seguintes questões ou problemas:

1. Inventar um e digo que nos possibilite anotar as diferentes movimentações efetuadas, nos casos de torres com 1,2, 3,4 ou 5 discos;

2. Analisar as regularidades que existem entre as torres de números pares e de números ímpares de discos;

3. Analisar os movimentos do disco 1 (o menor de todos), do disco 2 (o segundo menor de todos) e, assim, por diante;

4. Preencher o quadro abaixo e analisar as regularidades entre os números de deslocamentos entre eles:

5. Generalizar os aspectos acima para torres de 6,7 ou n discos;

6. Inventar uma equação que nos possibilite prever o número mínimo de deslocamentos para n discos.

Solução:

Número de discos	Número de movimentos	Regularidade
1	1	2 -1 = 2¹ - 1
2	3	2.2 - 1 = 2² - 1
3	7	2.2.2 - 1 = 2³ - 1
4	15	2.2.2.2 - 1 = 16 – 1
5	31	2.2.2.2.2 - 1 = 25 – 1
n	2n – 1	2.2.2...2.2 - 1 = 2^n – 1

Sistematização:

O jogo tem como objetivo que os alunos percebam que existem vários tipos de funções deve ser verificado juntamente com a ajuda dos alunos quais os tipos de funções que apareceram no decorrer do jogo e que essas funções podem ter um grau de polinômio n.

Esperasse que os alunos percebam que se tivermos um número n de discos e substituirmos na equação 2^n - 1, encontraremos a quantidade de movimentos, mínimos possíveis, sem precisar movimentar os discos.

É importante perguntar aos alunos quem esta em função do que, ou seja, o número de discos está em função do número de movimentos ou o número de movimentos está em função do número de discos. Tendo como objetivo que os alunos percebam que o número de movimentos esta em função do número de discos. Nesse momento deve pedir para que escrevam a função que representa esta regularidade. Esperasse que os alunos consigam escrever que:

M = 2^n - 1

Em que, M é a variável dependente e n é a variável independente.

Didática:

            Os alunos foram separados em 5 grupos, onde cada grupo possuía um exemplar da torre, e após explicado o sistema de alocação dos discos, foi proposto um desafio, onde além de descobrir quantos movimentos eram necessários para dispor os discos da forma desejada, com 2,3,4 e 5 discos, deviam observar se existia uma regra de recorrência pra n discos, a conversa entre o grupo foi importante na discussão se a quantidade de movimentos achada seria ou não a mínima possível, como erámos 5 bolsistas do PIBID, cada um auxiliou um dos grupos afim de instiga-los a encontrar a formula geral de movimentos e assim ganhar a competição. Os alunos se veem desafiados quando observam que não é tão simples quanto aparenta ser, então a própria curiosidade em conseguir descobrir o segredo por trás do questionamento, faz com que queriam saber quantos os movimentos e qual a fórmula procurada.