Oficina: 64 = 65?

Um sofisma é um argumento ou raciocínio capcioso, que, embora pareça ser verídico, é formulado com o fim de induzir em erro.  Nesta atividade, apresentamos um sofisma matemático que, por meio de sua construção, pode induzir os alunos a concluírem que 64 pode ser igual a 65.

Sua construção consiste em:

  ü  Desenhar numa folha branca um quadrado de 8 unidades de lado;

  ü  Desenhar os segmentos de reta conforme a figura a seguir;

  ü  Recortar nos segmentos desenhados.

    Construída a oficina, cada aluno deve recortar na folha branca um quadrado formado por 8x8 quadrinhos, considerando que cada quadrinho equivale a uma unidade de área. Ao calcular a área da figura, obtem-se como resultado 64 (área do quadrado= L², como um lado do quadrado equivale a 8, 8²=64).

Após calcular a área da figura, cada aluno deve desenhar os segmentos de reta dentro do quadrado(modelo acima) e recortar nos segmentos. Em seguida, com as quatro peças que foram recortadas, formar um retângulo e calcular a sua área. Ao calcular a área da nova figura, obtem-se como resultado 65 (área do retângulo = base x altura, como a base e a altura equivalem a 13 e 5 respectivamente, 13 x 5 = 65).

Ao perguntar aos alunos o porquê do ocorrido, muitos não souberam responder e ficaram boquiabertos com o resultado da ativivade.  Contudo, após a explicação sobre sofisma e a Sequência de Fibonacci os alunos reagiram bem a oficina.

A explicação para a diferença entre os resultados encontrados é que este é um sofisma matemático muito interessante que consiste em, por meio de uma refutação aparente induzir ao erro.

Além disso, o 64 e 65 tem uma relação na Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...).

Pegando o termo 3 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ), seus adjacentes são 2 e 5. Fazendo o termo 3² = 9; e fazendo o produto de 2 por 5 (2x5 = 10), temos a diferença deste com aquele igual a 1 (10 - 9 = 1).

Da mesma forma, pegando o termo 8 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ), seus adjacentes são 5 e 13. Fazendo o termo 8² = 64; e fazendo o produto de 5 por 13 (5x13 = 65), temos a diferença deste com aquele igual a 1 (65 - 64 = 1).

Este último fato poderia ser apresentado na forma geométrica da figura acima, porém é um sofisma. O truque consiste em apresentar essas duas imagens como esboços porque, dessa forma, a pessoa não percebe que os lados na parte central da segunda ilustração não se encaixam perfeitamente. Esse desencaixe é o bastante para deixar uma lacuna (um vazio bem no meio) de área 1, que é justamente o que aumenta os 64 iniciais até os 65 finais.

Com a aplicação da oficina, foi possível, observar que a intuição pode falhar, desenvolver a capacidade de raciocínio e trabalhar conteúdos como, trigonometria em um triângulo retângulo, propriedade de figuras geométricas e cálculo e conceito de área.